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TIC - Matemática

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.: Poliedros Duais :.

No estudo de dualidade, vamos considerar, inicialmente, os poliedros platônicos. Os duais destes poliedros podem ser obtidos da seguinte forma: 
i) marca-se o centro de cada face do poliedro original; 
ii) liga-se, por segmento de reta, cada um destes centros aos centros das faces adjacentes; 
iii) desconsidera-se o poliedro original.

O dual do cubo é o octaedro regular (Figura 1) e o dual do octaedro regular é o cubo (Figura 2). Assim, o cubo e o octaedro regular são poliedros duais.

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O icosaedro regular e o dodecaedro regular são poliedros duais. O tetraedro regular é dual a si próprio (Figura 3).

Os poliedros duais são também chamados recíprocos. As faces do dual correspondem aos vértices do original, assim como seus vértices correspondem às faces do original. Assim, um poliedro e seu dual têm o mesmo número de arestas, porém, o número de vértice e de faces fica invertido, isto é, se o poliedro original tem x faces e y vértices, o dual terá y faces e x vértices. O dual do dual é o poliedro original.

Dualidade não é uma característica específica dos poliedros platônicos. Esta se estende a todos os poliedros, embora certos duais não possam ser considerados poliedros no sentido tradicionalmente usado.

No entanto, o processo utilizado para obter os duais dos platônicos não pode ser estendido a todos os poliedros. A dualidade é geralmente definida em termos de reciprocidade polar sobre uma determinada esfera (comentada adiante), o que nos permite determinar o dual de um poliedro qualquer. Nesse processo, associa-se, inicialmente, cada vértice a um plano, de forma que: i) este plano seja perpendicular à reta determinada pelo centro da esfera e pelo vértice considerado; ii) o produto da distância do centro ao vértice pela distância do centro ao plano seja igual ao quadrado do raio da esfera (Figura 4).

Figura 4

Na Figura 4, o ponto A (interno à esfera) é um vértice do poliedro original e o plano a é o plano associado a ele pela reciprocidade (a é perpendicular à reta AO e OA . OB = r²). A face do poliedro dual correspondente ao vértice A, estará no plano a. Se A estivesse na superfície da esfera, então o plano a seria tangente à esfera, pelo ponto A.

Repetindo o processo para cada vértice do poliedro original, determina-se um conjunto de planos que se intersectam.

As arestas do poliedro dual localizam-se nas interseções entre os planos. Mais precisamente, se A1 e A2 são vértices do poliedro original, de forma que o segmento A1A2 é uma aresta, então o dual tem uma aresta correspondente à A1A2 localizada na interseção dos planos correspondentes aos vértices A1 e A2.

Para determinar as extremidades da aresta do dual correspondente à A1A2, precisamos considerar o fato de que a aresta A1A2 é compartilhada por duas faces do poliedro original. Tomamos, então, em cada uma dessas duas faces, o vértice adjacente a A1 (da mesma forma, poderíamos considerar A2). Os planos correspondentes aos vértices adjacentes a A1 intersectam a reta contendo a aresta correspondente à A1 A2 justamente em suas extremidades.

Procedendo da mesma maneira para todas as arestas do poliedro original, determinamos todas as arestas do dual.

Se o poliedro possui eixos de simetria (um poliedro e seu dual possuem os mesmos eixos de simetria), estes se encontram em um único ponto e este, em geral, é tomado como centro da esfera de reciprocidade. Caso isso não ocorra, é possível utilizar esferas circunscritas (Figura 5), esferas inscritas (Figura 6) e esferas médias (que passam pelos pontos médios de todas as arestas) (Figura 7).

Dependendo da esfera escolhida pode-se deformar o dual resultante, no entanto repetindo-se o a operação com a mesma esfera, determina-se sempre de volta o modelo original.

Cabe ressaltar que pode acontecer de um determinado poliedro ter um elemento passando pelo centro da esfera. Neste caso, o elemento correspondente no seu dual estaria no infinito. Por exemplo, se uma face do poliedro original está em um plano que passa pelo centro da esfera, o vértice correspondente no dual estaria no infinito (tais duais podem não ser considerados poliedros, no sentido tradicionalmente aceito).

Retomando a análise inicial sobre os poliedros platônicos, podemos observar que os duais destes poliedros pertencem à sua própria categoria, porém, isso só ocorre para os poliedros regulares, ou seja, é válido para os poliedros platônicos e para poliedros de Kepler-Poinsot.

Os poliedros de Kepler-Poinsot, que são regulares não convexos, são dois a dois duais: o pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro são duais (Figura 8); o grande icosaedro e o grande dodecaedro estrelado são duais (Figura 9).

Os duais dos sólidos arquimedianos formam uma nova categoria de sólidos, denominada sólidos de Catalan. Nos arquimedianos as faces são sempre regulares. Nos seus duais, as faces não são polígonos regulares, porém são todas congruentes. A Figura 10 mostra o cuboctaedro (arquimediano) e o dodecaedro rômbico (sólido de Catalan), que são poliedros duais.

Os duais dos prismas são as dipirâmides.A Figura 11 apresenta um prisma pentagonal e seu dual, a dipirâmide pentagonal.

Os duais dos antiprismas são os deltoedros A Figura 12 apresenta um antiprisma pentagonal e seu dual, o deltoedro pentagonal.

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Projeto "TIC no Processo de Ensino e Aprendizagem de Matemática"
Silvia Batista (silviac@cefetcampos.br) e Gilmara Barcelos (gilmarab@cefetcampos.br)