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.: Sólidos de Arquimedes :.

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Os sólidos de Arquimedes ou poliedros semi-regulares são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares de mais de um tipo. Todos os seus vértices são congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo de polígonos em torno de cada vértice. Além disso, todo vértice pode ser transformado em outro vértice por uma simetria do poliedro. Existem apenas treze poliedros arquimedianos.

Esses sólidos foram estudados por Arquimedes (287 - 252 a.C.), no entanto, os escritos originais deste autor estão perdidos. O quinto livro de “Mathematical Collection”, do matemático grego Pappus de Alexandria (cerca de 290 a 350 d.C.), faz referência aos estudos de Arquimedes sobre esses sólidos.

Os sólidos arquimedianos foram gradualmente sendo redescobertos durante o Renascimento, por vários artistas. Em 1619, na obra "Harmonices Mundi", Johanes Kepler (1571-1630) apresentou um estudo sistematizado sobre essa categoria de sólidos.

Sete dos treze arquimedianos (tetraedro truncado, cubo truncado, cuboctaedro, octaedro truncado, icosaedro truncado, icosidodecaedro, dodecaedro truncado) podem ser obtidos truncando um poliedro platônico. Três séries de truncamento geram esses sete arquimedianos:

  • cubo (platônico) – cubo truncado (arquimediano) – cuboctaedro (arquimediano) – octaedro truncado (arquimediano) – octaedro (platônico) (Figura 1).

Figura 1: Truncamento de vértices a partir do cubo

  • tetraedro (platônico) – tetraedro truncado (arquimediano) - octaedro (platônico) (Figura 2).

Figura 2: Truncamento de vértices a partir do tetraedro

  • icosaedro (platônico) – icosaedro truncado (arquimediano) – icosidodecaedro (arquimediano) – dodecaedro truncado (arquimediano) – dodecaedro (platônico).

Figura 3: Truncamento de vértices a partir do icosaedro

Para obter o cuboctaedro truncado, o rombicuboctaedro, o icosidodecaedro truncado e o rombicosidodecaedro não é suficiente o truncamento. É preciso combinar truncamento com um processo que transforme os retângulos, resultantes do truncamento, em quadrados (Figuras 4 e 5).


Figura 4: Processo de obtenção do Cuboctaedro Truncado e do Rombicuboctaedro

O processo mostrado na Figura 4 envolve truncamento de vértices. De maneira semelhante, porém envolvendo truncamento de arestas,  é possível obter o rombicuboctaedro diretamente do cubo ou do octaedro.


Figura 5: Processo de obtenção do Icosidodecaedro Truncado e do Rombicosidodecaedro

O processo mostrado na Figura 5 envolve truncamento de vértices. De maneira semelhante, porém envolvendo truncamento de arestas,  é possível obter o rombicosidodecaedro diretamente do icosaedro ou do dodecaedro.

Restam o cubo snub e dodecaedro snub, que não podem ser obtidos como os anteriores. Resumidamente, o processo de obtenção desses sólidos envolve mover, respectivamente, as faces do cubo e do dodecaedro para fora, de modo que estas não mais se toquem. Promover uma pequena rotação em seus centros (tudo no sentido horário ou tudo no sentido anti-horário) até que os espaços no meio possam ser preenchidos com triângulos eqüiláteros.

Por outros processos, o cubo snub e dodecaedro snub também podem ser obtidos respectivamente do octaedro e do icosaedro. Daí, também serem chamados de cuboctaedro snub e icosidodecaedro snub, respectivamente.

Cada um desses dois arquimedianos tem duas formas em que cada uma é a imagem num espelho da outra. São formas enantiomórficas, como uma mão vista ao espelho. Se essas formas fossem contadas separadamente, teríamos 15 arquimedianos. Mas, em geral, são considerados somente 13. 

Figura 6: As duas formas do Cubo Snub (à esquerda) e do Dodecaedro Snub (à direita).

Os prismas cujas faces laterais são regulares são, por definição, arquimedianos. Do mesmo modo, também os antiprismas de faces regulares são arquimedianos. No entanto, essas duas categorias de poliedros são infinitas e, em geral, não são incluídas na família dos arquimedianos.

Geralmente, utiliza-se a configuração do vértice para designar um sólido arquimediano. Por meio dessa notação exprime-se a seqüência das faces em torno de cada vértice. Por exemplo, a notação (3, 4, 3, 4) é referente ao cuboctaedro e significa que, em torno de cada vértice desse sólido, existe a seqüência de faces triângulo, quadrado, triângulo, quadrado (Figura 7). 


Figura 7: Cuboctaedro (3,4,3,4).

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Silvia Batista (silviac@cefetcampos.br) e Gilmara Barcelos (gilmarab@cefetcampos.br)