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.: Sólidos de Johnson :.

Sólidos e Planificações

Norman W. Johnson, em 1966, apresentou uma listagem de poliedros convexos, com faces regulares, que não eram platônicos, arquimedianos ou prismas e antiprismas. Sua listagem continha 92 poliedros.

Johnson nomeou e numerou esses 92 sólidos e sugeriu que não haveria outros. Em 1969, Vitor Zalgaller provou que realmente não existem outros. Estes poliedros são chamados Sólidos de Johnson.

Portanto, todo sólido de Johnson é convexo e possui faces regulares. Muitos destes são derivados dos platônicos, dos arquimedianos, dos prismas e antiprismas, por adição ou remoção de partes.

Os 92 Sólidos de Johnson:

Pirâmides:

  • Pirâmide Quadrangular (J1);
  • Pirâmide Pentagonal (J2).

Cúpulas: sólidos que têm duas faces paralelas (bases), de forma que a base menor é formada por um polígono de n lados e a base maior por um polígono de 2n lados. Lateralmente, as cúpulas possuem n triângulos e n quadrados.

  • Cúpula triangular (J3) - base menor: triângulo; base maior: hexágono.
  • Cúpula quadrangular (J4) - base menor: quadrado; base maior: octógono.
  • Cúpula pentagonal (J5) - base menor: pentágono; base maior: decágono (Figura 1).
Figura 1: Cúpula Pentagonal

Rotunda pentagonal: (J6) parte de um icosidodecaedro (sólido arquimediano). A base menor é um pentágono, a maior um decágono e é composto de triângulos e pentágonos nas laterais.

Figura 2: Rotunda Pentagonal

Pirâmides Alongadas: sólidos formados por uma pirâmide e por um prisma acoplado à sua base.

  • Pirâmide Triangular Alongada (J7);
  • Pirâmide Quadrangular Alongada (J8);
  • Pirâmide Pentagonal Alongada (J9) – Figura 3.
Figura 3: Pirâmide Pentagonal Alongada

Obs.: sempre que um sólido de Johnson traz em seu nome o termo “alongada” significa que este teve seu tamanho ampliado, acrescentando um prisma no meio ou na extremidade.

Pirâmides Giroalongadas: sólidos formados por uma pirâmide e por um antiprisma acoplado à sua base.

  • Pirâmide Quadrangular Giroalongada (J10);
  • Pirâmide Pentagonal Giroalongada (J11) – Figura 4.
Figura 4: Pirâmide Pentagonal Giroalongada

Obs.: sempre que um sólido de Johnson traz em seu nome o termo “giroalongada” significa que este teve seu tamanho ampliado, acrescentando um antiprisma no meio ou na extremidade.

Dipirâmides: sólidos formados por duas pirâmides acopladas base a base.

  • Dipirâmide Triangular (J12);
  • Dipirâmide Pentagonal (J13) – Figura 5.
Figura 5: Dipirâmide Pentagonal

Dipirâmides Alongadas: sólidos formados por duas pirâmides e um prisma entre elas.

  • Dipirâmide Triangular Alongada (J14);
  • Dipirâmide Quadrangular Alongada (J15);
  • Dipirâmide Pentagonal Alongada (J16) – Figura 6.
Figura 6: Dipirâmide Pentagonal Alongada

Dipirâmide Quadrangular Giroalongada (J17): sólido formado por duas pirâmides quadrangulares e um antiprisma entre elas.

Figura 7: Dipirâmide Quadrangular Giroalongada

Cúpula Alongada: sólidos formados por uma cúpula e um prisma acoplado à sua base maior.

  • Cúpula Triangular Alongada (J18);
  • Cúpula Quadrangular Alongada (J19);
  • Cúpula Pentagonal Alongada (J20) – Figura 8.
Figura 8: Cúpula Pentagonal Alongada

Rotunda Pentagonal Alongada (J21): sólido formado por uma rotunda pentagonal e um prisma acoplado à sua base maior.

Figura 9: Rotunda Pentagonal Alongada
Cúpulas Giroalongadas: sólidos formados por uma cúpula e um antiprisma acoplado à sua base maior.
  • Cúpula Triangular Giroalongada (J22);
  • Cúpula Quadrangular Giroalongada (J23);
  • Cúpula Pentagonal Giroalongada (J24) – Figura 10.
Figura 10: Cúpula Pentagonal Giroalongada

Rotunda Pentagonal Giroalongada (J25): sólido formado por uma rotunda pentagonal e um antiprisma acoplado à sua base maior.

Figura 11: Rotunda Pentagonal Giroalongada

Girobifastigium (J26): sólido formado por dois prismas triangulares acoplados como mostra a Figura 12 (há um giro nas posições dos prismas). Fastigium é um termo que vem do latim e é relativo à ápice, extremidade.


Figura 12: Girobifastigium

Ortobicúpulas: sólidos formados por duas cúpulas do mesmo tipo, acopladas base maior com base maior, de forma que quadrado se encaixe com quadrado e triângulo com triângulo.

  • Ortobicúpula Triangular (J27);
  • Ortobicúpula Quadrangular (J28);
  • Ortobicúpula Pentagonal (J30) – Figura 13.

Figura 13: Ortobicúpula Pentagonal

Girobicúpulas: sólidos formados por duas cúpulas de mesmo tipo, acopladas base maior com base maior, porém com um giro na posição de uma das cúpulas, o que faz com que quadrado se encaixe com triangulo e vice - versa.

  • Girobicúpula Quadrangular (J29);
  • Girobicúpula Pentagonal (J31) – Figura 14.
Figura 14: Girobicúpula Pentagonal

Cúpularrotundas Pentagonais: sólidos formados por uma cúpula pentagonal e uma rotunda pentagonal acopladas base maior com base maior.

  • Ortocúpularrotunda Pentagonal (J32);
  • Girocúpularrotunda Pentagonal (J33).
Figura 15: Ortocúpularrotunda Pentagonal (à esquerda) e Girocúpularrotunda Pentagonal (à direita)

Ortobirrotunda Pentagonal (J34): sólido formado por duas rotundas pentagonais acopladas base maior com base maior, de modo que pentágonos se encaixem com pentágonos e triângulos com triângulos.

Figura 16: Ortobirrotunda Pentagonal

Ortobicúpulas Alongadas: sólidos com um prisma entre a duas partes da ortobicúpula.

  • Ortobicúpula Triangular Alongada (J35);
  • Ortobicúpula Pentagonal Alongada (J38) – Figura 17.
Figura 17: Ortobicúpula Pentagonal Alongada

Girobicúpulas Alongadas: sólidos com um prisma entre as duas partes da girobicúpula.

  • Girobicúpula Triangular Alongada (J36);
  • Girobicúpula Quadrangular Alongada (J37);
  • Girobicúpula Pentagonal Alongada (J39) - Figura 18.
Figura 18: Girobicúpula Pentagonal Alongada

Cúpularrotundas Pentagonais Alongadas: sólidos com um prisma entre a cúpula pentagonal e a rotunda pentagonal.

  • Ortocúpularrotunda Pentagonal Alongada (J40);
  • Girocúpularrotunda Pentagonal Alongada (J41).

Figura 19: Ortocúpularrotunda Pentagonal Alongada (à esquerda) e Girocúpularrotunda Pentagonal Alongada (à direita)

Birrotunda Pentagonal Alongada: sólidos com um prisma entre as duas rotundas

  • Ortobirrotunda Pentagonal Alongada (J42);
  • Girobirrotunda Pentagonal Alongada (J43).
Figura 20: Ortobirrotunda Pentagonal Alongada (à esquerda) e Girobirrotunda Pentagonal Alongada (à direita)

Bicúpula Giroalongada: sólidos com um antiprisma entre as duas cúpulas.

  • Bicúpula Triangular Giroalongada (J44);
  • Bicúpula Quadrangular Giroalongada (J45);
  • Bicúpula Pentagonal Giroalongada (J46) – Figura 21.
Figura 21: Bicúpula Pentagonal Giroalongada

Cúpularrotunda Pentagonal Giroalongada (J47): sólido com um antiprisma entre a cúpula pentagonal e a rotunda pentagonal.

Figura 22: Cúpularrotunda Pentagonal Giroalongada

Birrotunda Pentagonal Giroalongada (J48): sólido com um antiprisma entre as duas rotundas pentagonais.

Figura 23: Birrotunda Pentagonal Giroalongada

Prisma Triangular Aumentado

  • Prisma Triangular Aumentado (J49): prisma triangular com uma pirâmide quadrangular acoplada, pela base, a uma das suas faces laterais.
  • Prisma Triangular Biaumentado (J50): prisma triangular com duas pirâmides quadrangulares acopladas, pela base, a faces laterais.
  • Prisma Triangular Triaumentado (J51): prisma triangular com três pirâmides quadrangulares acopladas, pela base, às faces laterais.
Figura 24: Prisma Triangular Aumentado (à esquerda); Prisma Triangular Biaumentado (no meio); Prisma Triangular Triaumentado (à direita)

Obs.: sempre que um sólido de Johnson traz em seu nome o termo “aumentado” significa que uma cúpula ou uma pirâmide foi adicionada a uma face do sólido.

Prisma Pentagonal Aumentado

  • Prisma Pentagonal Aumentado (J52): prisma pentagonal com uma pirâmide quadrangular acoplada, pela base, a uma das suas faces laterais.
  • Prisma Pentagonal Biaumentado (J53): prisma pentagonal com duas pirâmides quadrangulares acopladas, pela base, a faces laterais não adjacentes.

Prisma Hexagonal Aumentado

  • Prisma Hexagonal Aumentado (J54): prisma hexagonal com uma pirâmide quadrangular acoplada, pela base, a uma das suas faces laterais.
  • Prisma Hexagonal Parabiaumentado (J55): prisma hexagonal com duas pirâmides quadrangulares acopladas, pela base, a faces laterais opostas.
  • Prisma Hexagonal Metabiaumentado (J56): prisma hexagonal com duas pirâmides quadrangulares acopladas, pela base, a faces laterais não opostas.
  • Prisma Hexagonal Triaumentado (J57): prisma hexagonal com três pirâmides quadrangulares acopladas, pela base, a faces laterais alternadas.

Obs.: em algumas situações o prefixo bi não é específico o bastante. Então, é acrescentado o prefixo “para” significando que a operação foi realizada em duas faces ou partes opostas do sólido. Ou, então, é acrescentado o prefixo “meta” significando que a operação foi realizada em duas faces ou partes não opostas do sólido.

Dodecaedro Aumentado

  • Dodecaedro Aumentado (J58): dodecaedro com uma pirâmide pentagonal acoplada, pela base, a uma das suas faces.
  • Dodecaedro Parabiaumentado (J59) dodecaedro com duas pirâmides pentagonais acopladas, pela base, a faces opostas.
  • Dodecaedro Metabiaumentado (J60): dodecaedro com duas pirâmides pentagonais acopladas, pela base, a faces laterais não opostas.
  • Dodecaedro Triaumentado (J61): dodecaedro com três pirâmides pentagonais acopladas, pela base, a faces alternadas.

Icosaedro Diminuído

  • Icosaedro Metabidiminuído (J62): icosaedro do qual foram removidas duas pirâmides pentagonais não opostas.
  • Icosaedro Tridiminuído (J63): icosaedro do qual foram removidas três pirâmides pentagonais.
Figura 25: Icosaedro Tridiminuído

Obs.: sempre que um sólido de Johnson traz em seu nome o termo “diminuído” significa que uma cúpula ou uma pirâmide foi removida deste.

Icosaedro Tridiminuído Aumentado (J64): icosaedro tridiminuído com uma pirâmide triangular acoplada, pela base, a uma face, como mostra a Figura 26.

Figura 26: Icosaedro Tridiminuído Aumentado

Tetraedro Truncado Aumentado (J65): tetraedro truncado com uma cúpula triangular acoplada, pela base maior, a uma das faces hexagonais.

Cubo Truncado Aumentado

  • Cubo Truncado Aumentado (J66): cubo truncado com uma cúpula quadrangular acoplada, pela base maior, a uma das faces octogonais.
  • Cubo Truncado Biaumentado (J67): cubo truncado com duas cúpulas quadrangulares acopladas, pela base maior, a faces octogonais opostas.

Dodecaedro Truncado Aumentado

  • Dodecaedro Truncado aumentado (J68): dodecaedro truncado com uma cúpula pentagonal acoplada, pela base maior, a uma das faces decagonais.
  • Dodecaedro Truncado Parabiaumentado (J69): dodecaedro truncado com duas cúpulas pentagonais acopladas, pela base maior, a faces decagonais opostas.
  • Dodecaedro Truncado Metabiaumentado (J70): dodecaedro truncado com duas cúpulas pentagonais acopladas, pela base maior, a faces decagonais não opostas.
  • Dodecaedro Truncado Triaumentado (J71): dodecaedro truncado com três cúpulas pentagonais acopladas, pela base maior, a faces decagonais alternadas.

Rombicosidodecaedro Girado

  • Rombicosidodecaedro Girado (J72): rombicosidodecaedro no qual uma das cúpulas pentagonais sofreu um giro em relação à sua posição normal.
  • Rombicosidodecaedro Parabigirado (J73): rombicosidodecaedro no qual duas cúpulas pentagonais opostas sofreram um giro em relação à posição normal.
  • Rombicosidodecaedro Metabigirado (J74): rombicosidodecaedro no qual duas cúpulas pentagonais não opostas sofreram um giro em relação à posição normal.
  • Rombicosidodecaedro Trigirado (J75): rombicosidodecaedro no qual três cúpulas pentagonais sofreram um giro em relação à posição normal.

Obs.: sempre que um sólido de Johnson traz em seu nome o termo “girado” significa que uma parte foi rotacionada em relação à sua orientação normal.

Rombicosidodecaedro Diminuído

  • Rombicosidodecaedro Diminuído (J76): rombicosidodecaedro do qual foi removida uma cúpula pentagonal.
  • Rombicosidodecaedro Parabidiminuído (J80): rombicosidodecaedro do qual foram removidas duas cúpulas pentagonais opostas.
  • Rombicosidodecaedro Metabidiminuído (J81): rombicosidodecaedro do qual foram removidas duas cúpulas pentagonais não opostas.
  • Rombicosidodecaedro Tridiminuído (J83): rombicosidodecaedro do qual foram removidas três cúpulas pentagonais.

Rombicosidodecaedro Diminuído Girado

  • Rombicosidodecaedro Diminuído Paragirado (J77): rombicosidodecaedro diminuído no qual a cúpula pentagonal oposta à que foi retirada sofreu um giro em relação à posição normal.
  • Rombicosidodecaedro Diminuído Metagirado (J78): rombicosidodecaedro diminuído no qual uma cúpula pentagonal não oposta à que foi retirada sofreu um giro em relação à posição normal.
  • Rombicosidodecaedro Diminuído Bigirado (J79): rombicosidodecaedro diminuído no qual duas cúpulas pentagonais sofreram um giro em relação à posição normal.

Disfenóide Snub (J84): disfenóide é um tetraedro formado de faces congruentes. O tetraedro regular é, portanto, um disfenóide. Resumidamente, o processo de formação do disfenóide snub envolve mover algumas faces de um tetraedro regular e preencher os espaços formados com triângulos eqüiláteros.

Figura 27: Disfenóide Snub

Antiprisma Quadrado Snub(J85): um antiprisma quadrado que sofreu um aumento no número de triângulos laterais.

Esfenocorona (J86): sólido formado por um esfeno e por uma corona. Uma corona é uma composição de 8 triângulos. Uma luna é uma composição de dois triângulos e um quadrado, sendo os triângulos anexados em lados opostos do quadrado. Um esfeno é uma composição de duas lunas adjacentes.

Figura 28: Esfenocorona

Esfenocorona Aumentada (J87): esfenocorona com uma pirâmide quadrangular acoplada, pela base, a uma das faces quadradas.

Esfenomegacorona (J88): sólido formado por um esfeno e uma megacorona (corona ampliada, formada por 12 triângulos).

Hebesfenomegacorona (J89): sólido formado por um hebesfeno (composição de três lunas em seqüência) e uma megacorona.

Disfenocingulum (J90): sólido formado por um disfeno (composição de dois esfenos) e um cingulum (composição de 12 triângulos, dispostos como em uma correia).

Bilunabirrotunda (J91): sólido formado por duas lunas em posições opostas e duas rotundas (partes de um icosidodecaedro, cada uma composta de dois pentágonos e dois triângulos).

Figura 29: Bilunabirrotunda

Hebesfenorrotunda Triangular (J92): sólido composto de um hebesfeno e uma rotunda (parte de um icosidodecaedro, composta de quatro triângulos e três pentágonos), além de uma composição de um hexágono e três triângulos

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Projeto "TIC no Processo de Ensino e Aprendizagem de Matemática"
Silvia Batista (silviac@cefetcampos.br) e Gilmara Barcelos (gilmarab@cefetcampos.br)